Análisis de los principios de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización
1 Introducción
Una de las principales razones de la ineficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en los bucles for, los valores booleanos, los contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en árboles de Merkle, al expandir los datos utilizando codificación Reed-Solomon, muchos valores redundantes adicionales ocupan todo el dominio, incluso si el valor original es muy pequeño. Para abordar este problema, reducir el tamaño del dominio se ha convertido en una estrategia clave.
Como se muestra en la tabla 1, el ancho de codificación de la primera generación de STARKs es de 252 bits, el ancho de codificación de la segunda generación de STARKs es de 64 bits, y el ancho de codificación de la tercera generación de STARKs es de 32 bits, pero el ancho de codificación de 32 bits todavía presenta un gran desperdicio de espacio. En comparación, el campo binario permite operar directamente sobre los bits, con una codificación compacta y eficiente sin ningún desperdicio de espacio, es decir, la cuarta generación de STARKs.
Tabla 1: Ruta de derivación de STARKs
| Orden | Ancho de bit | Descripción |
|------|------|------|
| Primera generación | 252bit | Basado en el campo de primos |
| Segunda generación | 64bit | Dominio Goldilocks |
| Tercera generación | 32bit | Dominio Babybear |
| Cuarta generación | 1bit | Dominio binario |
En comparación con los campos finitos descubiertos en investigaciones recientes como Goldilocks, BabyBear y Mersenne31, la investigación sobre campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se utilizan ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:
Estándar de cifrado avanzado ( AES ), basado en el campo F28;
Código de autenticación de mensaje de Galois ( GMAC ), basado en el campo F2128;
Código QR, utiliza codificación Reed-Solomon basada en F28;
Protocolo FRI original y zk-STARK, así como la función hash Grøstl que llegó a la final de SHA-3, que se basa en el campo F28, es un algoritmo de hash muy adecuado para la recursión.
Cuando se utilizan dominios más pequeños, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El dominio binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para garantizar su seguridad y viabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que solo operan en el dominio base, logrando así una alta eficiencia en dominios pequeños. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y el cálculo de FRI aún deben profundizar en un dominio de extensión más grande para asegurar la seguridad requerida.
Al construir un sistema de pruebas basado en el dominio binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación del trazo en STARKs, el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, se requiere realizar una codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.
Binius propuso una solución innovadora que aborda estos dos problemas por separado y representa los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando polinomios multilineales de múltiples variables en lugar de polinomios univariables, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos"; en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar una extensión estándar de Reed-Solomon como en STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado, y realizar la extensión de Reed-Solomon basada en este cuadrado. Este método, al asegurar la seguridad, mejora enormemente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional.
2 Análisis de principios
La construcción de la mayoría de los sistemas SNARKs actuales generalmente incluye las siguientes dos partes:
Prueba de Oracle Interactiva Polinómica de Teoría de la Información ( Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP ): PIOP, como núcleo del sistema de prueba, transforma la relación computacional de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Diferentes protocolos PIOP permiten que el probador envíe polinomios de manera gradual a través de la interacción con el validador, de modo que el validador pueda verificar si el cálculo es correcto consultando solo unos pocos resultados de evaluación polinómica. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PLONK PIOP, Spartan PIOP y HyperPlonk PIOP, cada uno de los cuales maneja las expresiones polinómicas de manera diferente, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.
Esquema de Compromiso Polinómico (Polynomial Commitment Scheme, PCS): El esquema de compromiso polinómico se utiliza para probar si se cumple una igualdad polinómica generada por PIOP. PCS es una herramienta criptográfica que permite al probador comprometerse a un polinomio y verificar el resultado de la evaluación de ese polinomio más tarde, mientras oculta otra información del polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico comunes incluyen KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, seguridad y escenarios de aplicación.
Según las necesidades específicas, elige diferentes PIOP y PCS, y combina con un campo finito o una curva elíptica adecuados, se pueden construir sistemas de prueba con diferentes atributos. Por ejemplo:
• Halo2: combina PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, y se basa en la curva Pasta. Halo2 se diseñó con un enfoque en la escalabilidad y en eliminar la configuración de confianza en el protocolo ZCash.
• Plonky2: utiliza PLONK PIOP combinado con FR P C S y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr una recursividad eficiente. Al diseñar estos sistemas, la PIOP y la PCS elegidas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada para garantizar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La selección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de prueba del SNARK y la eficiencia de verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin una configuración confiable y si puede soportar funciones extendidas como pruebas recursivas o pruebas agregadas.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + campos binarios. En concreto, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de campos binarios (towers of binary fields) constituye la base de su cálculo, permitiendo realizar operaciones simplificadas dentro del campo binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba de Oracle interactivo (PIOP), asegurando una verificación de consistencia segura y eficiente entre las variables y sus permutaciones. Tercero, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia de la verificación de relaciones multilineales en campos pequeños. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda de Lasso, proporcionando flexibilidad y una fuerte seguridad al mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo utiliza un esquema de compromiso de polinomios en campos pequeños (Small-Field PCS), permitiendo la implementación de un sistema de prueba eficiente en el campo binario y reduciendo la sobrecarga normalmente asociada con los campos grandes.
( 2.1 Campo finito: aritmética basada en torres de campos binarios
Los cuerpos binarios en torre son clave para implementar cálculos rápidos y verificables, principalmente debido a dos aspectos: el cálculo eficiente y la aritmética eficiente. Los cuerpos binarios, por su naturaleza, admiten operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que los convierte en una opción ideal para aplicaciones criptográficas que son sensibles a los requisitos de rendimiento. Además, la estructura del cuerpo binario soporta un proceso de aritmética simplificado, es decir, las operaciones realizadas sobre el cuerpo binario pueden representarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar plenamente sus características jerárquicas a través de la estructura de torre, hacen que los cuerpos binarios sean especialmente adecuados para sistemas de prueba escalables como Binius.
El término "canónico" se refiere a la representación única y directa de un elemento en un campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de k bits puede ser mapeada directamente a un elemento de campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, que no pueden proporcionar esta representación canónica dentro de un número fijo de bits. Aunque el campo primo de 32 bits puede ser contenido dentro de 32 bits, no todas las cadenas de 32 bits pueden corresponder de manera única a un elemento de campo, mientras que el campo binario tiene la conveniencia de este mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery y métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción especial ) como se usa en AES (, la reducción de Montgomery ) como se usa en POLYVAL ( y la reducción recursiva ) como Tower ###. El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que en el campo binario no se requiere llevar en las operaciones de adición y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada (X + Y )2 = X2 + Y 2.
Como se muestra en la Figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena se puede interpretar de varias maneras en el contexto de dominios binarios. Puede considerarse como un elemento único en un dominio binario de 128 bits, o interpretarse como dos elementos de dominio de torre de 64 bits, cuatro elementos de dominio de torre de 32 bits, dieciséis elementos de dominio de torre de 8 bits, o 128 elementos de dominio F2. Esta flexibilidad de representación no requiere ningún costo computacional, solo una conversión de tipo de cadena de bits (typecast), lo cual es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de dominio pequeños pueden empaquetarse en elementos de dominio más grandes sin necesidad de costos computacionales adicionales. El protocolo Binius aprovecha esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el artículo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de multiplicación, elevación al cuadrado y operaciones de inversión en dominios de torre binaria de n bits ( descomponiéndose en subdominios de m bits ).
( 2.2 PIOP: Versión adaptada del producto HyperPlonk y PermutationCheck------aplicable al campo binario
El diseño de PIOP en el protocolo Binius se basa en HyperPlonk, utilizando una serie de mecanismos de verificación centrales para validar la corrección de polinomios y conjuntos multivariables. Estas verificaciones centrales incluyen:
GateCheck: verificar si el testigo de confidencialidad ω y la entrada pública x cumplen con la relación de operación del circuito C)x,ω(=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.
PermutationCheck: verificar si los resultados de evaluación de los dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f)x( = f)π###x(), para asegurar la consistencia de la permutación entre las variables del polinomio.
LookupCheck: Verificar si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ) ⊆ T(Bµ(, asegurando que ciertos valores están dentro del rango especificado.
MultisetCheck: verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {)x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, garantizando la consistencia entre múltiples conjuntos.
ProductCheck: Verificar si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f(x) = s, para asegurar la corrección del producto del polinomio.
ZeroCheck: Verificar si un polinomio multivariable en un hipercubo booleano es cero en cualquier punto ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.
SumCheck: Verifica si la suma de un polinomio multivariable es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f(x) = s. Al transformar el problema de evaluación de polinomios multivariables en la evaluación de un polinomio unidimensional, se reduce la complejidad computacional para el verificador. Además, SumCheck también permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales que permiten el procesamiento de múltiples instancias de verificación de sumas.
BatchCheck: Basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.
A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha realizado mejoras en los siguientes 3 aspectos:
Optimización de ProductCheck: en HyperPlonk, ProductCheck exige que el denominador U sea siempre diferente de cero en el hipercubo, y que el producto debe ser igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar este valor en 1, reduciendo así la complejidad computacional.
Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no logró manejar adecuadamente las situaciones de división por cero, lo que llevó a no poder afirmar que U es no cero en el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius también puede continuar procesándose, permitiendo la generalización a cualquier valor de producto.
Comprobación de Permutación de columnas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutación entre varias columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones de arreglos polinomiales más complejas.
Por lo tanto, Binius ha mejorado la flexibilidad y eficiencia del protocolo mediante la mejora del mecanismo PIOPSumCheck existente, ofreciendo un soporte funcional más robusto, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones en HyperPlonk, sino que también sientan las bases para futuros sistemas de prueba basados en campos binarios.
( 2.3 PIOP: nuevo argumento de desplazamiento multilineal------aplicable a hipercubo booleano
En el protocolo Binius, múltiples virtual
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AllTalkLongTrader
· hace4h
¿Quién puede entender esto? Aparte de star, no entendí nada.
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MerkleDreamer
· hace4h
La amplitud ha bajado, finalmente se ha reducido el desperdicio.
Ver originalesResponder0
PanicSeller
· hace4h
Esta optimización es demasiado lenta, estoy cansado.
Binius STARKs nuevo avance: optimización del dominio binario y sistema de prueba eficiente
Análisis de los principios de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización
1 Introducción
Una de las principales razones de la ineficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en los bucles for, los valores booleanos, los contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en árboles de Merkle, al expandir los datos utilizando codificación Reed-Solomon, muchos valores redundantes adicionales ocupan todo el dominio, incluso si el valor original es muy pequeño. Para abordar este problema, reducir el tamaño del dominio se ha convertido en una estrategia clave.
Como se muestra en la tabla 1, el ancho de codificación de la primera generación de STARKs es de 252 bits, el ancho de codificación de la segunda generación de STARKs es de 64 bits, y el ancho de codificación de la tercera generación de STARKs es de 32 bits, pero el ancho de codificación de 32 bits todavía presenta un gran desperdicio de espacio. En comparación, el campo binario permite operar directamente sobre los bits, con una codificación compacta y eficiente sin ningún desperdicio de espacio, es decir, la cuarta generación de STARKs.
Tabla 1: Ruta de derivación de STARKs
| Orden | Ancho de bit | Descripción | |------|------|------| | Primera generación | 252bit | Basado en el campo de primos | | Segunda generación | 64bit | Dominio Goldilocks | | Tercera generación | 32bit | Dominio Babybear | | Cuarta generación | 1bit | Dominio binario |
En comparación con los campos finitos descubiertos en investigaciones recientes como Goldilocks, BabyBear y Mersenne31, la investigación sobre campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se utilizan ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:
Estándar de cifrado avanzado ( AES ), basado en el campo F28;
Código de autenticación de mensaje de Galois ( GMAC ), basado en el campo F2128;
Código QR, utiliza codificación Reed-Solomon basada en F28;
Protocolo FRI original y zk-STARK, así como la función hash Grøstl que llegó a la final de SHA-3, que se basa en el campo F28, es un algoritmo de hash muy adecuado para la recursión.
Cuando se utilizan dominios más pequeños, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El dominio binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para garantizar su seguridad y viabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que solo operan en el dominio base, logrando así una alta eficiencia en dominios pequeños. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y el cálculo de FRI aún deben profundizar en un dominio de extensión más grande para asegurar la seguridad requerida.
Al construir un sistema de pruebas basado en el dominio binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación del trazo en STARKs, el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, se requiere realizar una codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.
Binius propuso una solución innovadora que aborda estos dos problemas por separado y representa los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando polinomios multilineales de múltiples variables en lugar de polinomios univariables, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos"; en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar una extensión estándar de Reed-Solomon como en STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado, y realizar la extensión de Reed-Solomon basada en este cuadrado. Este método, al asegurar la seguridad, mejora enormemente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional.
2 Análisis de principios
La construcción de la mayoría de los sistemas SNARKs actuales generalmente incluye las siguientes dos partes:
Prueba de Oracle Interactiva Polinómica de Teoría de la Información ( Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP ): PIOP, como núcleo del sistema de prueba, transforma la relación computacional de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Diferentes protocolos PIOP permiten que el probador envíe polinomios de manera gradual a través de la interacción con el validador, de modo que el validador pueda verificar si el cálculo es correcto consultando solo unos pocos resultados de evaluación polinómica. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PLONK PIOP, Spartan PIOP y HyperPlonk PIOP, cada uno de los cuales maneja las expresiones polinómicas de manera diferente, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.
Esquema de Compromiso Polinómico (Polynomial Commitment Scheme, PCS): El esquema de compromiso polinómico se utiliza para probar si se cumple una igualdad polinómica generada por PIOP. PCS es una herramienta criptográfica que permite al probador comprometerse a un polinomio y verificar el resultado de la evaluación de ese polinomio más tarde, mientras oculta otra información del polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico comunes incluyen KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, seguridad y escenarios de aplicación.
Según las necesidades específicas, elige diferentes PIOP y PCS, y combina con un campo finito o una curva elíptica adecuados, se pueden construir sistemas de prueba con diferentes atributos. Por ejemplo:
• Halo2: combina PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, y se basa en la curva Pasta. Halo2 se diseñó con un enfoque en la escalabilidad y en eliminar la configuración de confianza en el protocolo ZCash.
• Plonky2: utiliza PLONK PIOP combinado con FR P C S y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr una recursividad eficiente. Al diseñar estos sistemas, la PIOP y la PCS elegidas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada para garantizar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La selección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de prueba del SNARK y la eficiencia de verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin una configuración confiable y si puede soportar funciones extendidas como pruebas recursivas o pruebas agregadas.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + campos binarios. En concreto, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de campos binarios (towers of binary fields) constituye la base de su cálculo, permitiendo realizar operaciones simplificadas dentro del campo binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba de Oracle interactivo (PIOP), asegurando una verificación de consistencia segura y eficiente entre las variables y sus permutaciones. Tercero, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia de la verificación de relaciones multilineales en campos pequeños. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda de Lasso, proporcionando flexibilidad y una fuerte seguridad al mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo utiliza un esquema de compromiso de polinomios en campos pequeños (Small-Field PCS), permitiendo la implementación de un sistema de prueba eficiente en el campo binario y reduciendo la sobrecarga normalmente asociada con los campos grandes.
( 2.1 Campo finito: aritmética basada en torres de campos binarios
Los cuerpos binarios en torre son clave para implementar cálculos rápidos y verificables, principalmente debido a dos aspectos: el cálculo eficiente y la aritmética eficiente. Los cuerpos binarios, por su naturaleza, admiten operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que los convierte en una opción ideal para aplicaciones criptográficas que son sensibles a los requisitos de rendimiento. Además, la estructura del cuerpo binario soporta un proceso de aritmética simplificado, es decir, las operaciones realizadas sobre el cuerpo binario pueden representarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar plenamente sus características jerárquicas a través de la estructura de torre, hacen que los cuerpos binarios sean especialmente adecuados para sistemas de prueba escalables como Binius.
El término "canónico" se refiere a la representación única y directa de un elemento en un campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de k bits puede ser mapeada directamente a un elemento de campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, que no pueden proporcionar esta representación canónica dentro de un número fijo de bits. Aunque el campo primo de 32 bits puede ser contenido dentro de 32 bits, no todas las cadenas de 32 bits pueden corresponder de manera única a un elemento de campo, mientras que el campo binario tiene la conveniencia de este mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery y métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción especial ) como se usa en AES (, la reducción de Montgomery ) como se usa en POLYVAL ( y la reducción recursiva ) como Tower ###. El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que en el campo binario no se requiere llevar en las operaciones de adición y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada (X + Y )2 = X2 + Y 2.
Como se muestra en la Figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena se puede interpretar de varias maneras en el contexto de dominios binarios. Puede considerarse como un elemento único en un dominio binario de 128 bits, o interpretarse como dos elementos de dominio de torre de 64 bits, cuatro elementos de dominio de torre de 32 bits, dieciséis elementos de dominio de torre de 8 bits, o 128 elementos de dominio F2. Esta flexibilidad de representación no requiere ningún costo computacional, solo una conversión de tipo de cadena de bits (typecast), lo cual es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de dominio pequeños pueden empaquetarse en elementos de dominio más grandes sin necesidad de costos computacionales adicionales. El protocolo Binius aprovecha esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el artículo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de multiplicación, elevación al cuadrado y operaciones de inversión en dominios de torre binaria de n bits ( descomponiéndose en subdominios de m bits ).
( 2.2 PIOP: Versión adaptada del producto HyperPlonk y PermutationCheck------aplicable al campo binario
El diseño de PIOP en el protocolo Binius se basa en HyperPlonk, utilizando una serie de mecanismos de verificación centrales para validar la corrección de polinomios y conjuntos multivariables. Estas verificaciones centrales incluyen:
GateCheck: verificar si el testigo de confidencialidad ω y la entrada pública x cumplen con la relación de operación del circuito C)x,ω(=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.
PermutationCheck: verificar si los resultados de evaluación de los dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f)x( = f)π###x(), para asegurar la consistencia de la permutación entre las variables del polinomio.
LookupCheck: Verificar si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ) ⊆ T(Bµ(, asegurando que ciertos valores están dentro del rango especificado.
MultisetCheck: verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {)x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, garantizando la consistencia entre múltiples conjuntos.
ProductCheck: Verificar si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f(x) = s, para asegurar la corrección del producto del polinomio.
ZeroCheck: Verificar si un polinomio multivariable en un hipercubo booleano es cero en cualquier punto ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.
SumCheck: Verifica si la suma de un polinomio multivariable es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f(x) = s. Al transformar el problema de evaluación de polinomios multivariables en la evaluación de un polinomio unidimensional, se reduce la complejidad computacional para el verificador. Además, SumCheck también permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales que permiten el procesamiento de múltiples instancias de verificación de sumas.
BatchCheck: Basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.
A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha realizado mejoras en los siguientes 3 aspectos:
Optimización de ProductCheck: en HyperPlonk, ProductCheck exige que el denominador U sea siempre diferente de cero en el hipercubo, y que el producto debe ser igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar este valor en 1, reduciendo así la complejidad computacional.
Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no logró manejar adecuadamente las situaciones de división por cero, lo que llevó a no poder afirmar que U es no cero en el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius también puede continuar procesándose, permitiendo la generalización a cualquier valor de producto.
Comprobación de Permutación de columnas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutación entre varias columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones de arreglos polinomiales más complejas.
Por lo tanto, Binius ha mejorado la flexibilidad y eficiencia del protocolo mediante la mejora del mecanismo PIOPSumCheck existente, ofreciendo un soporte funcional más robusto, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones en HyperPlonk, sino que también sientan las bases para futuros sistemas de prueba basados en campos binarios.
( 2.3 PIOP: nuevo argumento de desplazamiento multilineal------aplicable a hipercubo booleano
En el protocolo Binius, múltiples virtual