Phân tích nguyên lý STARKs Binius và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của các chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Như bảng 1 đã chỉ ra, bề rộng mã hóa của STARK thế hệ đầu tiên là 252bit, bề rộng mã hóa của STARK thế hệ thứ hai là 64bit, bề rộng mã hóa của STARK thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng bề rộng mã hóa 32bit vẫn còn tồn tại nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thực hiện các thao tác trực tiếp trên bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARK thế hệ thứ tư.
Bảng 1: Đường dẫn phát sinh STARKs
| Thứ tự | Bề rộng | Mô tả |
|------|------|------|
| Thế hệ 1 | 252bit | Dựa trên trường số lớn |
| Thế hệ thứ 2 | 64bit | Miền Goldilocks |
| Thế hệ 3 | 32bit | Miền Babybear |
| Thế hệ thứ 4 | 1bit | Miền nhị phân |
So với các lĩnh vực hữu hạn mới được nghiên cứu trong những năm gần đây như Goldilocks, BabyBear, Mersenne31, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy nguồn từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, trường nhị phân đã được áp dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên trường F2128;
QR mã, sử dụng mã Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cũng như hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn dựa vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong việc tính toán Prover không cần vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đề xuất một giải pháp đổi mới để xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện cùng một dữ liệu bằng hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "siêu lập phương" ( hypercubes ) để thể hiện toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, vì chiều dài của mỗi chiều trong siêu lập phương đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu lập phương như hình vuông ( square ) và thực hiện mở rộng Reed-Solomon dựa trên hình vuông đó. Phương pháp này, trong khi đảm bảo an toàn, đã nâng cao đáng kể hiệu suất mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh từng bước gửi đa thức thông qua việc tương tác với người xác minh, giúp người xác minh có thể xác minh tính đúng đắn của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một số lượng nhỏ kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi loại đều có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Phương án cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Phương án cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua nó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Các phương án cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và bối cảnh áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip thích hợp, có thể xây dựng các hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm vào khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: áp dụng PLONK PIOP và FRI PCS kết hợp, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và độ an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của các sự kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh của SNARK và hiệu quả xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu nó có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, cơ sở tính toán của nó được xây dựng dựa trên cấu trúc số học của các miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields), có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã áp dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó triển khai hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Trường hữu hạn: Toán học dựa trên towers of binary fields
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán nhanh có thể xác minh, chủ yếu do hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và số hóa hiệu quả. Trường nhị phân bản chất hỗ trợ các thao tác số học hiệu quả cao, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình số hóa đơn giản, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cộng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc tính phân cấp thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k-bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k-bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32-bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32-bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân có tính tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, cũng như các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào việc mang trong các phép toán cộng và nhân, và phép toán bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản hóa (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được xem như một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt trong biểu diễn này không cần bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu quả tính toán. Hơn nữa, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, phép bình phương và phép đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể phân tách thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên HyperPlonk Product và PermutationCheck------Áp dụng cho trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, áp dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi, được sử dụng để xác minh tính đúng đắn của đa thức và tập hợp nhiều biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng chỉ bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ tính toán của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động đúng.
PermutationCheck: Xác minh xem giá trị của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên siêu khối Boolean có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s hay không, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên siêu lập phương Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem giá trị tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách biến đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành vấn đề đánh giá đa thức đơn biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức nhiều biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U phải không bằng 0 tại mọi điểm trong siêu khối, và tích phải bằng một giá trị nhất định; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách đặc hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ tình huống chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định vấn đề không bằng không của U trên siêu lập phương; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số là không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến giá trị tích bất kỳ.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu suất của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết các hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: đối số dịch đa tuyến mới------thích hợp cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, đa ảo
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
5 thích
Phần thưởng
5
4
Đăng lại
Chia sẻ
Bình luận
0/400
AllTalkLongTrader
· 10giờ trước
Ai hiểu được cái này chứ? Ngoài star ra không hiểu gì cả.
Xem bản gốcTrả lời0
MerkleDreamer
· 10giờ trước
Độ rộng đã giảm xuống rồi, cuối cùng cũng giảm được lãng phí.
Xem bản gốcTrả lời0
PanicSeller
· 10giờ trước
Tối ưu hóa này thực sự quá chậm chạp rồi, mệt quá.
Binius STARKs bước đột phá mới: Tối ưu hóa miền nhị phân và hệ thống chứng minh hiệu quả
Phân tích nguyên lý STARKs Binius và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của các chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Như bảng 1 đã chỉ ra, bề rộng mã hóa của STARK thế hệ đầu tiên là 252bit, bề rộng mã hóa của STARK thế hệ thứ hai là 64bit, bề rộng mã hóa của STARK thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng bề rộng mã hóa 32bit vẫn còn tồn tại nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thực hiện các thao tác trực tiếp trên bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARK thế hệ thứ tư.
Bảng 1: Đường dẫn phát sinh STARKs
| Thứ tự | Bề rộng | Mô tả | |------|------|------| | Thế hệ 1 | 252bit | Dựa trên trường số lớn | | Thế hệ thứ 2 | 64bit | Miền Goldilocks | | Thế hệ 3 | 32bit | Miền Babybear | | Thế hệ thứ 4 | 1bit | Miền nhị phân |
So với các lĩnh vực hữu hạn mới được nghiên cứu trong những năm gần đây như Goldilocks, BabyBear, Mersenne31, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy nguồn từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, trường nhị phân đã được áp dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên trường F2128;
QR mã, sử dụng mã Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cũng như hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn dựa vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong việc tính toán Prover không cần vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đề xuất một giải pháp đổi mới để xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện cùng một dữ liệu bằng hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "siêu lập phương" ( hypercubes ) để thể hiện toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, vì chiều dài của mỗi chiều trong siêu lập phương đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu lập phương như hình vuông ( square ) và thực hiện mở rộng Reed-Solomon dựa trên hình vuông đó. Phương pháp này, trong khi đảm bảo an toàn, đã nâng cao đáng kể hiệu suất mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh từng bước gửi đa thức thông qua việc tương tác với người xác minh, giúp người xác minh có thể xác minh tính đúng đắn của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một số lượng nhỏ kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi loại đều có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Phương án cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Phương án cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua nó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Các phương án cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và bối cảnh áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip thích hợp, có thể xây dựng các hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm vào khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: áp dụng PLONK PIOP và FRI PCS kết hợp, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và độ an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của các sự kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh của SNARK và hiệu quả xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu nó có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, cơ sở tính toán của nó được xây dựng dựa trên cấu trúc số học của các miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields), có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã áp dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó triển khai hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Trường hữu hạn: Toán học dựa trên towers of binary fields
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán nhanh có thể xác minh, chủ yếu do hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và số hóa hiệu quả. Trường nhị phân bản chất hỗ trợ các thao tác số học hiệu quả cao, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình số hóa đơn giản, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cộng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc tính phân cấp thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k-bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k-bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32-bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32-bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân có tính tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, cũng như các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào việc mang trong các phép toán cộng và nhân, và phép toán bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản hóa (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được xem như một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt trong biểu diễn này không cần bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu quả tính toán. Hơn nữa, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, phép bình phương và phép đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể phân tách thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên HyperPlonk Product và PermutationCheck------Áp dụng cho trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, áp dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi, được sử dụng để xác minh tính đúng đắn của đa thức và tập hợp nhiều biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng chỉ bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ tính toán của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động đúng.
PermutationCheck: Xác minh xem giá trị của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên siêu khối Boolean có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s hay không, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên siêu lập phương Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem giá trị tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách biến đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành vấn đề đánh giá đa thức đơn biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức nhiều biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U phải không bằng 0 tại mọi điểm trong siêu khối, và tích phải bằng một giá trị nhất định; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách đặc hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ tình huống chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định vấn đề không bằng không của U trên siêu lập phương; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số là không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến giá trị tích bất kỳ.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu suất của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết các hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: đối số dịch đa tuyến mới------thích hợp cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, đa ảo